Tugas Matematika: Juni 2020

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari
Kelas : X IPS 2
Absen : 20

SOAL TRIGONOMETRI

1. 90° dapat juga ditulis dengan ...... π

Dapat diselesaikan dengan menulis 90°/180° = 1/2 π

Jadi hasilnya 90° sama dengan 1/2 π

2. Besar sudut

72^{\circ}

sama dengan

\dots rad

Ingat bahwa

1^{\circ} = \frac{π}{180} rad

Dengan demikian,

\begin{aligned} 72^{\circ} & = 72^{2} \times \frac{π}{180^{5}} rad \\ = \frac{2}{5} π rad \end{aligned}

Jadi, besar sudut

72^{\circ}

sama dengan

\frac{2}{5} π rad

3. Sin 1100 = ...

Pembahasan
Sin 1100 = Sin (900 + 200)

Jadi, α = 200 maka Sin 1100 = Cos 200

4.Sin 1200 = ...

Pembahasan
Sin 1200 = Sin (900 + 300)
Jadi, α = 300 maka Sin 1200 = Cos 300 = 1/2 √3

5. Cos 1350 = ...

Pembahasan
Cos 1350 = Cos (900 + 450)
Jadi, α = 450 maka Cos 1350 = - Sin 450 = - 1/2 √2

6.Tan 1050 = ....

Pembahasan
Tan 1050 = Tan (900 + 150)

Jadi, α = 150 maka Tan 1050 = - Cot 150

7. Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut A adalah 60o, sudut B adalah 45o, dan panjang sisi AC sama dengan 10 cm. Panjang BC pada segitiga ABC tersebut adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar segitiga ABC dengan ukuran sesuai yang diketahui pada soal berikut ini.

Untuk mencari panjang BC dapat menggunakan rumus aturan sinus.

Panjang BC adalah:

$\frac{AC}{Sin \; B} = \frac{BC}{Sin \; A}$

$\frac{10}{Sin \; 45} = \frac{BC}{Sin \; 60}$

$\frac{10}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2} \sqrt{3}}$

$\frac{1}{2} \sqrt{2} \times BC = 10 \times \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$BC = \frac{ 10 \times \frac{1}{2} \sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}$

$BC = \frac{ 10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \; \textrm{cm}$

Dari hasil di atas sudah diperoleh panjang BC, namun untuk mendapatkan nilai yang paling sederhana perlu langkan mengalikan dengan akar rasional, seperti terlihat pada langkah berikut.

$BC = \frac{ 10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{ \sqrt{2} }{\sqrt{2}}$

$BC = \frac{ 10 \sqrt{6}}{2} = 5 \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

8. Diberikan segi empat ABCD seperti pada gambar di bawah!

Contoh soal aturan sinus dan aturan cosinus

Panjang BC adalah ….

Pembahasan:

Mencari panjang AC dengan aturan sinus:

$\frac{AC}{Sin \; D} = \frac{AD}{Sin \; C}$

$\frac{AC}{Sin \; 30^{o}} = \frac{10}{Sin \; 45^{o}}$

$\frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}$

$AC = \frac{10 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}$

$AC = \frac{10}{\sqrt{2}}$

$AC = \frac{10}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$AC = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}$

Mencari panjang BC dengan aturan cosinus:

$BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot Sin \; A$

$BC^{2} = (5 \sqrt{2})^{2} + (10 \sqrt{2})^{2} - 2 \cdot (5 \sqrt{2}) \cdot (10 \sqrt{2}) \cdot Cos \; 60^{o}$

$BC^{2} = 50 + 200 - 200 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^{2} = 250 - 100$

$BC^{2} = 150$

$BC = \sqrt{150}$

$BC = \sqrt{25 \times 6}$

$BC = 5 \sqrt{6} \; \textrm{cm}$

9. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Pembahasan:

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

$L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times sin \; 60^{o}$

$L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$L = 72 \sqrt{3} \; \textrm{m}^{2}$

10. Di sebuah museum terdapat miniatur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30o di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar di bawah!

Jadi, luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah

$L = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times Sin \; 30^{o}$

$L = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \frac{1}{2}$

$L = 4 \; \textrm{m}^{2} = 400 \; \textrm{dm}^{2}$

11. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = ½ ….

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 2

12. Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{2} Cos 3x + 1$ . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

Pembahasan:

Diketahui fungsi f(x):

$f(x) = \sqrt{2} Cos \; 3x + 1$

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

$a = \sqrt{2} \cdot 1 + 1$

$a = \sqrt{2} + 1$

Nilai minimum = b, maka

$b = \sqrt{2} \cdot - 1 + 1$

$b = - \sqrt{2} + 1$

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

$a^{2} + b^{2} = (\sqrt{2} + 1)^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{2}$

$= ( 2 + 2 \sqrt{2} + 1) + ( 2 - 2 \sqrt{2} + 1)$

$= 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2 \sqrt{2}$

$= 6$

13. Dina melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Dina dan menara yang dilihatnya adalah 180m dan tinggi Dina adalah 150 cm maka tinggi menara tersebut adalah =

Dik = Sudut elevasi = 30°

Jarak = 180 m

Tinggi = 150 cm

Dit = Tinggi menara ?

Jawab = menara = y + 1,5 m.

tan 30° = y/180

y = 180 x ¹/₃√3

y = 60√3 m

Jadi tinggi menara tersebut adalah (1,2 + 60√3) m.

14. Pada interval 0° < x < 120° titik maksimum dari y= 2sin (3x - 30°) adalah=

Sin (3x- 30°) = sin 90°

3x - 30° = 90 + k. 360°

3x = 30° + 90 + k. 360°

3x = 120° + k. 360°

x = 40° + k. 120°

k = 0 maka x = 40°

jadi x = 40°

nilai maksimum 2

titik maksimum (40°,2)

15. Bila tan θ = 7/24 dengan θ lancip, maka sin θ. Cos θ =

Tan θ = 7/24

berarti:

a = 7

b = 24

c = √(7² + 24²)

= √625

= 25

sin θ = 7/25

cos θ = 24/25

16. Apabila x berada pada interval tertutup (0°, 360°) maka nilai minimum y=cos x dicapai pada x =

Y maksimum = 1

sin x = 1

sin x = sin 90°

maka x = 90°

17. Jika tan a= p dan 90 <a<180 maka sin a=

90° < α < 180° ⇒ α di kuadran II dan sin α bernilai positif

tan² α + 1 = 1/cos² α

p² + 1 = 1/cos² α

cos² α = 1/(p² + 1)

sin² α + cos² α = 1

sin² α + 1/(p² + 1) = 1

sin² α = 1 - 1/(p² + 1)

sin² α = (p² + 1 - 1) / (p² + 1)

sin² α = p² / (p² + 1)

sin α = √{p² / (p² + 1)

= p / √(p² + 1)

18. Jika cotangen x = 3, maka nilai dari 1/1+cos x + 1/1-cos x adalah=

cot x = 3

tan x = 1/ cot x

tan x = 1/3 = y/x

r = √(x² + y²) = √(3²+1²)

r = √10

sin x = y/r = 1/√10

sin² x = (1/√10) = 1/10

1/(1 +cos x) + 1/ (1 - cos x) =

= {1(1 - cos x) +1(1 + cos x)} /(1+cos x)(1 - cos x)

= (1 - cos x + 1 + cos x) / (1 - cos² x)

= 2/sin² x

= 2 / (1/10)

= 10/2

= 5

19. Perhatikan gambar berikut!

Nilai

\cos α

adalah

\dots \cdot

Panjang

O A = r

merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat, sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh

\begin{aligned} O A = r & = \sqrt{(- 6)^{2} + 8^{2}} \\ = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{aligned}

Karena

α

berada di kuadran II, maka cosinus sudut alfa bernilai negatif, sehingga

\cos α = - \frac{x}{r} = - \frac{6}{10} = - \frac{3}{5}

Jadi, nilai

\cos α = - \frac{3}{5}

20.Jika sin a = 5/7 ,dengan A lancip maka tan a=

Tan = de/sa

5/ 2 akar 6

Tugas Matematika

Selasa, 16 Juni 2020

Soal Trigonometri