PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (21) XI IPS 2

PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Seperti, “kalau A maka B dan kalau B maka C”.

PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG (KONTRAPOSISI)

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika.

                                   

                                        

Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k, k bilangan bulat
Maka 7n+9 dapat dituliskan jadi 7 (2k)+9 atau 2 (7k)+9
2.(7k)+9=2 x (7k) + 8+ 1
=2x(7k)+2x4+1
=2 (7k+4) + 1

7k+4 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 2.(7k)+9=2m+1, m bilangan bulat

Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2.(7k)+9 n atau 7n+9 adalah bilangan ganjil.

KONTRADIKSI

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Kita memanfaatkan logika matematika

  Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k + 1, k bilangan bulat
Maka 7n + 9 dapat dituliskan jadi 7 (2k + 1) + 9 atau 14k + 10
14k + 10 = 2 x (7k) + 2 x 5
=2 (7k + 5)

7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 14k + 10 = 2m

14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat.Padahal itu definisi bilangan genap. Kontradiksi dengan asumsi awal 7n+9 adalah bilangan ganjil. Asumsi awal n adalah bilangan ganjil salah.

 

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. 

Langkah Induksi Matematika
1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar
2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar  karena berlaku untuk bilangan.
3. Buktikan untuk bilangan asli k + 1pernyataan tersebut juga benar

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar