PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (21) XI IPS 2

PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Seperti, “kalau A maka B dan kalau B maka C”.

PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG (KONTRAPOSISI)

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika.

                                   

                                        

Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k, k bilangan bulat
Maka 7n+9 dapat dituliskan jadi 7 (2k)+9 atau 2 (7k)+9
2.(7k)+9=2 x (7k) + 8+ 1
=2x(7k)+2x4+1
=2 (7k+4) + 1

7k+4 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 2.(7k)+9=2m+1, m bilangan bulat

Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2.(7k)+9 n atau 7n+9 adalah bilangan ganjil.

KONTRADIKSI

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Kita memanfaatkan logika matematika

  Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k + 1, k bilangan bulat
Maka 7n + 9 dapat dituliskan jadi 7 (2k + 1) + 9 atau 14k + 10
14k + 10 = 2 x (7k) + 2 x 5
=2 (7k + 5)

7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 14k + 10 = 2m

14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat.Padahal itu definisi bilangan genap. Kontradiksi dengan asumsi awal 7n+9 adalah bilangan ganjil. Asumsi awal n adalah bilangan ganjil salah.

 

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. 

Langkah Induksi Matematika
1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar
2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar  karena berlaku untuk bilangan.
3. Buktikan untuk bilangan asli k + 1pernyataan tersebut juga benar

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k², maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Logika Matematika

 Induksi Matematika

(Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari ~ XI IPS 2)


1.Logika Matematika
Matematika merupakan ilmu yang memiliki cakupan yang sangat luas. Matematika bukan hanya mempelajari angka dan perhitungan saja. Namun, terdapat hal-hal yang dipelajari dalam matematika selain hitung-menghitung, salah satunya adalah logika matematika.
Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan.
Tahap logika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

a.Pernyataan
Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya.
Pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.
  
Contoh:

• 10 + 2 = 12 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
• 4 × 8 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 20 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

b.Ingkaran/Negasi (~)
Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

p	~p
B	S
S	B

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.
Contoh:
p : Semua murid lulus ujian
~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

c. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. dengan tanda ",", "dan", "atau", "jika ..., maka ... " dan " ... jika dan hanya jika ....". 
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

• Konjungsi (∧)

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

p	q	p∧q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar
Contoh:
Budi sudah makan belajar dan makan
Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

• Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p∨q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh:
Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa
Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

• Implikasi (⟹)

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

p	q	p⇒q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.
Contoh:
Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah
Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

• Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi:

p	q	p⇔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja
Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

d.Ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang diterapkan dalam pernyataan majemuk, metode ini kita dapat mengetahui negasi dari pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi.Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah ““.Konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu, seperti rumus berikut ini.







 e. Konvers
 Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.

 f. Implikasi (konvers, invers, kontraposisi)

1. Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.
2. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.
3. Kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” . Maka kontraposisi nya adalah “~q => ~p”.

 g. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya,
 Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

• Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua

• Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.

• p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi
• ∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi

h. Penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme)
Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada.

1. Modus Ponen

Modus ponen ialah konsep penarikan kesimpulan yang dimana apabila "p →q" dan diketahui "p" maka dapat di tarik kesimpulan "q"

Contoh :

p →q : Jika hari ini hujan, maka tanah jadi basah

p       : hari ini hujan

kesimpulan :

q : tanah jadi basah

2, Modus Tollens

Modus tollens ialah konsep penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan majemuk "p →q" dan diketahui "~q" maka dapat ditarik kesimpulan "~p"

Contoh :

p →q : Jika hari ini hujan, maka tanah jadi basah

~q     : tanah tidak basah

kesimpulan :

~p : hari ini tidak hujan.

3. Sillogisme

Silogisme adalah konsep penarikan kesimpulan apa bila ada pernyataan "p →q" dan di ketahui "q →r" maka dapat ditarik kesimpulan "p →r"

Contoh :

p →q :Jika hari ini hujan, maka tanah jadi basah

q →r : jika tanah jadi basah, maka tanaman jadi subur

kesimpulan :

p →r : jika hari ini hujan, maka tanaman jadi subur

 i. Table logika matematika

p	q	~p	~q	p^q	pvq	p → q	p ↔ q
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	S	S
S	B	B	S	S	B	B	S
S	S	B	B	S	S	B	B