Contoh soal nilai optimal minimum

 Contoh soal nilai optimal minimum 

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (21)

Kelas : XI IPS 2

Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum

 Contoh Soal 1

Seorang pedagang minuman menjual dua jenis minuman ringan pada suatu tempat yang dapat menampung 500 botol minuman. Harga beli minuman jenis A dan jenis B masing-masing Rp. 2000 dan Rp 4000 per botol. Jika ia memiliki modal Rp. 1.600.000 serta akan memperoleh laba perbuah Rp. 800 untuk minuman jenis A dan Rp. 600 untuk minuman jenis B, maka berapakah banyaknya minuman minuman jenis A dan B agar diperoleh laba maksimum ?

Pembahasan :

Misalkan

x = banyaknya minuman jenis A

y = banyaknya minuman jenis B

maka dapat disusun kendala modal dan kapasitas kios sebagai berikut:

x + y ≤ 500

2000x + 4000y ≤ 1.600.000

x ≥ 0

y ≥ 0

Jika disederhanakan menjadi :

x + y ≤ 500

x + 2y ≤ 800

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi laba : f(x, y) = 800x + 600y

Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Titik A koordinatnya adalah A(0, 400)

Titik C koordinatnya adalah C(500, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 500 maka x + 300 = 500, sehingga x = 200

Jadi koordinat titik B adalah B(200, 300)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 800x + 600y, sehingga diperoleh :

A(0, 400)     → f(A) = 800(0) + 600(400) = 240.000

B(200, 300) → f(B) = 800(200) + 600(300) = 360.000

C(500, 0)     → f(C) = 800(500) + 600(0) = 400.000

Jadi keuntungan maksimum yakni sebesar Rp. 400.000 diperoleh jika dijual minuman jenis A saja sebanyak 500 botol

 

 

Contoh Soal 2

 

 Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan :

Kapasitas tempat: x + y ≤ 400

Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 5x + 2y \le 1.250

x ≥ 0

y ≥ 0

Diagramnya:

grafik fungsi linear

Titik ekstrim:

A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel

C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang

B(x_B, y_B) dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

penyelesaian pertidaksamaan program linear

Sehingga jumlah maksimum:

Apel: 150 kg

Pisang: 250 kg

 

Contoh Soal 3

 Untuk memproduksi sepeda jenis A dengan harga jual Rp.600.000 suatu perusahaan membutuhkan biaya Rp. 200.000 dan waktu 20 jam. Sedangkan sepeda jenis B dengan harga jual Rp. 800.000 membutuhkan biaya Rp. 100.000 dengan waktu 30 jam. Jika dana yang tersedia Rp. 1.200.000 dan waktu kerja 240 jam per bulan, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan

Pembahasan:

Misalkan

x = banyaknya sepeda jenis A

y = banyaknya sepeda jenis B

maka dapat disusun kendala biaya dan waktu produksi sebagai berikut:

200000x + 100000y ≤ 1200000

20x + 30y ≤ 240

x ≥ 0

y ≥ 0

Jika disederhanakan menjadi :

2x + y ≤ 12

2x + 3y ≤ 24

x ≥ 0

y ≥ 0

Fungsi penjualan : f(x, y) = 600000x + 800000y

Selanjutnya akan dilukis grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

 

Titik A koordinatnya adalah A(0, 8)

Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 12 maka 2x + 6 = 12, sehingga 2x = 6, jadi  x = 3

Jadi koordinat titik B adalah B(3, 6)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 600000x + 800000y, sehingga diperoleh :

A(0, 8) → f(A) = 600000(0) + 800000(8) = 6.400.000

B(6, 2) → f(B) = 600000(6) + 800000(2) = 5.200.000

C(3, 6) → f(C) = 600000(3) + 800000(6) = 6.600.000

Jadi hasil penjualan maksimum yang diperoleh tiap bulan adalah Rp. 6.600.000