SOAL TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS

SOAL TRANSFORMASI TRANSLASI, REFLEKSI, ROTASI, DILATASI DENGAN MATRIKS UNTUK MENCARI BAYANGANNYA: TITIK, GARIS, BIDANG DATAR, DAN RUANGAN

Assalamualaikum Wr.Wb.

 

Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (21)

XI IPS 2 

Contoh 1

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)).

Pembahasan:

Diketahui:

• Pencerminan terhadap sumbu 
• Pencerminan terhadap sumbu  
• Rotasi 180o, 

Maka:

Contoh 2

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh 

transformasi yang bersesuaian dengan matriks  adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi =

Transformasi =

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

Kemudian disubstitusikan:

Hasilnya:

 

Contoh 3 

Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}-4\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x       →  x = 4
-2 = -y    →  y = 2

Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2) 

Contoh 4 

Oleh matriks , titik  dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik  dan . Tentukan koordinat titik Q.

Pembahasan:

Mencari nilai a dari transformasi P:

Sehingga matriksnya:

Mencari titik Q:

Sehingga:

Contoh 5 

Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90^o ] adalah ….

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90^o yang berpusat di O(0, 0):

   

   

   

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90^o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Contoh  6

Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos{180}^{\circ }& -sin{180}^{\circ }\\ sin{180}^{\circ }& cos{180}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x   →  x = -x'
y' = -y   →  y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1

Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1

Contoh  7 

Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

  

  

  

  

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

• a = 9
• 3b – 2 = 10
  3b = 12
  b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

 Contoh  8 

Hasil translasi titik P₁(3, –2) oleh T₁ dilanjutkan dengan T₂,

   

menghasilkan titik P₂ (8, 7). Komponen translasi dari T₁ yang sesuai adalah ….

Pembahasan:

Misalkan:

   

Maka,

   

Perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:

3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:

-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T₁ adalah

   

 Contoh  9

Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ...

Jawab :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = 2x   →  x = $\frac{1}{2}$x'
y' = 2y   →  y = $\frac{1}{2}$y'

Substitusi x dan y ke persamaan x² + y² = 5
($\frac{1}{2}$x')² + ($\frac{1}{2}$y')² = 5
$\frac{1}{4}$(x')² + $\frac{1}{4}$(y')² = 5   (kali 4)
(x')² + (y')² = 20

Jadi, bayangannya adalah x² + y² = 20

Contoh 10

Tentukan bayangan segitiga ABC dengan koordinat titik-titik A(2,3), B (8,3) dan C (8,-2) jika ditranslasikan oleh vektor translasi: T(2,-3). 
Perhatikan hasil bayangan segitiga yang kalian peroleh:
a) Bagaimana bentuk segitiga bayangan tersebut jika dibandingkan dengan segitiga ABC?
b) Apakah luas kedua segitiga tersebut sama? Jelaskan dengan perhitungan matematika!

Pembahasan:
Titik A (2,3), Titik B (8,3), Titik C (8,-2)
 Kemudian semua titik ditranslasikan
T(2,-3) Titik A (2+2), (3-3), A'(4,0)
Titik B (8=2), (3-3), B'(10,0)
Titik C (8+20, (-2,-3), C'(10,-5) 

a) Bentuk dan ukuran bayangan segitiga sama persis dengan titik segitiga semula.
b) Luas kedua segitiga tersebut sama besar karena panjang sisi-sisinya juga sama besar. 

Perhitungan Matematikanya Luas segitiga = Luas bayangan yaitu L = 1/2.a.t

 DAFTAR PUSTAKA : 

https://idschool.net/sma/rumus-pada-transformasi-geometri-translasi-refleksi-rotasi-dan-dilatasi/

https://www.studiobelajar.com/transformasi-geometri/