PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (22)

Kelas : XI IPS 2 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Persamaan garis singgung kurva masih berkaitan dengan gradien garis singgung. Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Langkah-langkah untuk mencari garis singgung dan garis normal ;

1.) Tentukan titik singgung (X1, Y1)

2.) Cari koefisien arah m = f`(X1)

3.) Cari garis singgung dengan rumus y-y1 = m (x-x1)

4.) Cari garis normal dengan rumus y-y1 = -1/m (x-x1)

 

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

1. 

   Persamaan Garis

   Persamaan garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$

 dengan gradien m adalah :$$y-y_1=m(x-x_1)$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1,4)$ dengan m = 3 adalah
y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $-\frac{a}{b}$

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $-\frac{6}{-2}$

2.  = 3

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$ dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$m=tan\alpha$$

Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $m_A=m_B$

Tegak lurus : $m_A\cdot m_B=-1$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\left(x_1,y_1\right)$

. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $$y-y_1=m(x-x_1)$$dengan $m=f^{\prime }\left(x_1\right)$

 

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal 1

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan
Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12 

Soal 2

Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x$ dititik $(1,3)$

 adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Soal 3

Persamaan garis singgung kurva $y=2x-3x^2$

 di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

 

Soal 4

Persamaan garis singgung kurva $y=2\sqrt{x}$

 di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1


Soal 5
Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+5$ yang sejajar dengan garis $2x-y+3=0$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

 

Soal 6

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab :

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(x)

1 = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2√x = 1

√x = $\frac{1}{2}$

x = $\frac{1}{4}$

y = √x
y = $\sqrt{\frac{1}{4}}$

y = $\frac{1}{2}$

Titik singgung : P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

PGS di titik P$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$

 dengan $m=1$

 adalah

y − $\frac{1}{2}$

 = 1$\left(x-\frac{1}{4}\right)$
$y=x+\frac{1}{4}$

   atau  4x − 4y + 1 = 0

Soal 7

Garis k menyinggung kurva $y=x^2-4x-3+2a$

 di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8,2)$

, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x² − 4x − 3 + 2a
y = (4)² − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x² − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

m_k = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l = $-\frac{1}{4}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\left(x_1,y_1\right)$

 dan $\left(x_2,y_2\right)$  adalah :
$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  m_l = $\frac{2-(2a-3)}{8-4}$

⇔  $-\frac{1}{4}$

 = $\frac{5-2a}{4}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

Soal 8

Jika garis $x-2y=0$

 menyinggung kurva $y=a-\frac{2}{x}$

 dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :

x − 2y = 0 ⇒ m = $\frac{1}{2}$

f(x) = a − $\frac{2}{x}$

  ⇒  f '(x) = $\frac{2}{x^2}$

m =  f '(x)

$\frac{1}{2}$

 = $\frac{2}{x^2}$

x² = 4

x = ±2

Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒  x = −2

x − 2y = 0

−2 − 2y = 0

−2y = 2

y = −1

Titik singgung : (−2, −1)

Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :

y = a − $\frac{2}{x}$

−1 = a − $\frac{2}{(-2)}$

−1 = a + 1
⇒ a = −2

Soal 9

Garis $y=4x+1$

 menyinggung kurva $y=a{x}^2+bx$ di titik dengan absis 2. Tentukan nilai $4a-b$

 !

Jawab :

Absis (x) = 2 

y = 4x + 1

y =4(2) + 1
y = 9

Titik singgung : (2, 9)

Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :

y = ax² + bx

9 = a(2)² + b(2)

4a + 2b = 9 ...................................... (1)

y = 4x + 1  ⇒  m = 4

f(x) = ax² + bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b

m = f '(2)

4 = 2a(2) + b

4a + b = 4  ....................................... (2)

Eliminasi (1) dan (2) :

4a + 2b = 9

4a + b = 4    _

4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4

4a = -1

Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6

Soal 10

Persamaan garis singgung kurva $y=3-x^2$

 yang tegak lurus terhadap garis $4y=x+1$

 adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1  ⇒  m₁ = $\frac{1}{4}$

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1
$\frac{1}{4}$

 . m₂ = −1
⇒  m₂ = −4

f(x) = 3 − x²  ⇒  f '(x) = −2x

m₂ = f '(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah 

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

Soal 11

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{x}-2$

 di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

Jawab :

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

y = √x − 2

0 = √x − 2

√x = 2

x = 4

Titik singgung : (4, 0)

f(x) = √x − 2  ⇒  $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

m = f '(4) = $\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

⇒ m = $\frac{1}{4}$

PGS di titik (4, 0) dengan m = $\frac{1}{4}$

 adalah  

y − 0 = $\frac{1}{4}$

(x − 4)
y = $\frac{1}{4}$

x − 1

 

Soal 12

Garis y = x memotong kurva $y=x^2-4x+4$

 di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :

Misalkan :

y₁ = x² − 4x + 4
y₂ = x

Titik potong P dan Q :

y₁ = y₂

x² − 4x + 4 = x

x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1   x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

x = 1 ⇒ y = 1

x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

f(x) = x² − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4

m_P = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ m_P = −2

m_Q = f '(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ m_Q = 4

PGS di titik P(1,1) dengan m_P = −2 adalah 

y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3

PGS di titik Q(4, 4) dengan m_Q = 4  adalah

y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12

$$Sekian\; Blog\; untuk\; materi\; hari\; ini\; kurang\; lebihnya\; mohon\; maafJangan\; lupa\; tersenyum\; :)\; dan\; selalu\; semangatWassalamualaikum\; wr.wbDaftar\; Pustaka:https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.idhttps://smatika.blogspot.com$$