INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (22)

Kelas : XI IPS 2

INTEGRAL TERTENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Pengertian Integral Tertentu

Integral Tertentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan

d(x) = variabel integral
a = batas bawah pada variabel integral
b = batas atas pada variabel integral
F(a) = nilai integral pada batas bawah
F(b) = nilai integral pada batas atas

 

Sifat - Sifat Integral

Intergral Tertentu memiliki sejumlah sifat-sifat penting yang dapat digunakan dalam pengoperasian matematika yaitu:

Contoh Soal

1. Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan :

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

 

 2. Nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan :

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

 

3. Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan :

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

 

4. Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan :

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

 

5. Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan :

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

 

$\mathrm{Sekian\; Blog\; untuk\; materi\; hari\; ini\; kurang\; lebihnya\; mohon\; maaf}$

Jangan lupa tersenyum :) dan selalu semangat

Wassalamualaikum wr.wb  

 

Daftar Pustaka:

https://www.edura.id/blog/matematika/integral/

https://www.sheetmath.com/2018/06/integral-tentu-contoh-soal-dan-pembahasan.html

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/