PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (22)

Kelas : XI IPS 2

                PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI                                NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA          

KEMONOTONAN

Definisi Kemonotonan Misalkan 𝑓 terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan bahwa : 

1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

    dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) 

2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2

    dalam I dimana 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) 

3. 𝑓 monoton pada I jika 𝑓 naik atau turun pada I.

Teorema Kemonotonan 

Misalkan 𝑓 kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I, 

1. Jika 𝑓’(𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 naik pada I. 

2. Jika 𝑓’(𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka 𝑓 turun pada I. 

                                   

 

INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

Kondisi suatu fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi $y=f\left(x\right)$ dalam interval $I$ dengan $f\left(x\right)$ diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap $x$ di dalam interval $I$.

 

Perhatikan bahwa kurva yang ditandai dengan warna merah adalah ketika fungsi itu dikatakan naik, dan biru untuk fungsi turun. Titik $a$ dan $b$ disebut titik stasioner, yaitu titik di mana fungsi itu diam (tidak naik maupun tidak turun). Fungsi $f\left(x\right)$ naik saat $x<a$ atau $x>b$, sedangkan $f\left(x\right)$ turun pada saat $a<x<b$. 

 KECEKUNGAN 

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).

- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

  

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.

2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

 

UJI TURUNAN KEDUA

Turunan kedua merupakan kelanjutan dari turunan pertama. Apabila f′(x) adalah pertama dari f(x), maka f′′(x) adalah turunan kedua yang diperoleh dari penurunan kembali turunan pertama f′(x). Selain percepatan, turunan kedua dalam penggunaanya dapat digunakan untuk menentukan jenis nilai stasionernya.

Bukti dari uji turunan kedua

Andaikan kita mempunyai ${\displaystyle f''(x)>0}$ (bukti untuk ${\displaystyle f''(x)<0}$ analog). Dengan asumsi, ${\displaystyle f'(x)=0}$. Maka

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}}$

Dengan demikian, untuk ${\displaystyle h}$ yang cukup kecil kita mendapatkan

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0}$,

yang berarti ${\displaystyle f'(x+h)<0}$ jika ${\displaystyle h<0}$ (secara intuitif, ${\displaystyle f}$ menurun karena mendekati ${\displaystyle x}$ dari kiri), dan bahwa ${\displaystyle f'(x+h)>0}$ jika ${\displaystyle h>0}$ (secara intuitif, ${\displaystyle f}$ menurun karena mendekati ${\displaystyle x}$ dari kanan). Sekarang, dengan uji turunan pertama, ${\displaystyle f}$ mempunyai sebuah maksimum lokal pada ${\displaystyle x}$. 

 

 CONTOH SOAL

Soal 1

Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

$\mathrm{Pembahasan\; :}$

$\mathrm{Diketahui\; g(x)=2x3-9x2+12x,\; sehingga\; turunan\; pertamanya\; adalah\; g\prime (x)=6x2-18x+12.\; Kurva\; g(x)\; selalu\; naik\; jika\; diberi\; syarat\; g\prime (x)>0.\; 6x2-18x+12>0Kedua\; ruas\; dibagi dengan 6x2-3x+2>0(x-2)(x-1)>0\therefore x<1 atau x>2\; Jadi,\; interval\; x\; yang\; membuat\; kurva\; fungsi\; g(x)\; selalu\; naik\; adalah\; x<1 atau x>2\; (Jawaban\; C)}$

$\mathrm{Soal\; 2}$
$\mathrm{Interval\; x\; yang\; membuat\; kurva\; fungsi\; f(x)=x3-6x2+9x+2\; selalu\; turun\; adalah\; \cdots \cdot \; A.\; -1<x<3\; B.\; 0<x<3\; C.\; 1<x<3\; D.\; x<1\; atau\; x>3\; E.\; x<0\; atau\; x>3}$

$\mathrm{Pembahasan\; :}$

$\mathrm{Diketahui\; f(x)=x3-6x2+9x+2,\; sehingga\; turunan\; pertamanya\; adalah\; f\prime (x)=3x2-12x+9.\; Kurva\; f(x)\; selalu\; turun\; jika\; diberi\; syarat\; f\prime (x)<0.\; 3x2-12x+9<0Kedua\; ruas\; dibagi dengan 3x2-4x+3<0(x-3)(x-1)<0\therefore 1<x<3\; Jadi,\; interval\; x\; yang\; membuat\; kurva\; fungsi\; f(x)\; selalu\; turun\; adalah\; 1<x<3\; (Jawaban\; C)}$

$\mathrm{Sekian\; Blog\; untuk\; materi\; hari\; ini\; kurang\; lebihnya\; mohon\; maaf}$

Jangan lupa tersenyum :) dan selalu semangat

Wassalamualaikum wr.wb  

 

DAFTAR PUSTAKA : 

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/

https://lmsspada.kemdikbud.go.id/pluginfile.php/54570/mod_resource/content/1/PENERAPAN%20TURUNAN.pdf

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

https://id.wikipedia.org/wiki/Uji_turunan