SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Muhamad Rayyen Alfareza Bukhari (22)

Kelas : XI IPS 2

                 SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

    Pembelajaran kali ini, kita akan mengerjakan dan membahas soal-soal cerita atau soal berkonteks mengenai penerapan turunan. 

Nomor 1

Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$   

 

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & \end{array}$$\begin{array}{c}=1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$
(Jawaban D)

 

Nomor  2

Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots {\text{cm}}^3$

.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

 

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0<x<15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =plt\\ & =(30-2x)(30-2x)x\\ & =4x^3-120x^2+900x\end{array}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 12x^2-240x+900& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan 12}\\ x^2-20x+75& =0\\ (x-15)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=15$ (tidak memenuhi) atau $x=5$. 
Untuk $x=5$, diperoleh
$\begin{array}{cc}V\left(5\right)& =900\left(5\right)-120(5{)}^2+4(5{)}^3\\ & =4.500-3.000+500=2.000\end{array}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $2.000{\text{cm}}^3$
(Jawaban A)

Nomor 3 

Total penjualan suatu barang $\left(k\right)$ merupakan perkalian antara harga $\left(p\right)$ dan permintaan $\left(x\right)$ yang dinyatakan dengan $k=px$. Untuk $p=90-3x$ dalam jutaan rupiah dan $1\le x\le 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.350.000.000,00
B. Rp675.000.000,00
C. Rp600.000.000,00
D. Rp450.000.000,00
E. Rp45.000.000,00

 

Pembahasan 

Diberikan $k=px$. Untuk $p=90-3x$, diperoleh
$k=(90-3x)x=-3x^2+90x$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\frac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}k}{\text{d}x}& =-6x+90\\ 0& =-6x+90\\ 6x& =90\\ x& =15\end{array}$
Nilai $x=15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k=-3x^2+90x$, sehingga diperoleh
$k_{\text{max}}=-3(15{)}^2+90(15)=675$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00
(Jawaban B) 

 

Nomor 4

Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00  

 

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E) 

 

Nomor  5

Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x³ + 2x² − 5x di titik (1, −2) adalah….
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4  

 

Pembahasan

Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x³ + 2x² − 5x
m = y ‘ = 3x² + 4x − 5

Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)² + 4(1) − 5 = 2

Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2

y = 2x − 4 

(Jawaban C)  

 

Nomor 6

Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t² − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik!
A. 15 m/detik
B. 16 m/detik
C. 17 m/detik
D. 18 m/detik
E. 19 m/detik

Pembahasan

Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t² − 4t + 8
ν = y ‘ = 10t − 4

Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah

ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik

 (Jawaban B)  

 

Nomor 7

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$     

 

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)       

 

 Nomor  8

Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari 

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

 

Pembahasan

Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

  (Jawaban E)   

 

Nomor 9

Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

 

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.

$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

 

Nomor 10

Perhatikan gambar berikut.

Layar bioskop memiliki tinggi $3$ meter dan terletak pada dinding $1$ meter di atas lantai. Jarak seseorang dari dinding agar besar sudut $\theta$ sebesar mungkin adalah $\cdots$ meter.
A. $1$                       C. $2$                    E. $3$
B. $\sqrt{3}$                     D. $2\sqrt{3}$  

 

 Pembahasan

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha =\frac{4}{x}$ dan $\tan \beta =\frac{1}{x}$, sehingga
$$\begin{array}{cc}\tan \theta & =\tan (\alpha -\beta )\\ & =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\\ & =\frac{\frac{4}{x}-\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x}\cdot \frac{1}{x}}\times \frac{x^2}{x^2}\\ & =\frac{3x}{x^2+4}\end{array}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$ bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar).
Nilai ekstrem fungsi tangen $f\left(\theta \right)=\tan \theta$ tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0$.
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u=3x$ dan $v=x^2+4$, sehingga $u^{\prime }=3$ dan $v^{\prime }=2x$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}f\left(\theta \right)& =\tan \theta =\frac{3x}{x^2+4}\\ \Rightarrow f^{\prime }\left(\theta \right)& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ 0& =\frac{3(x^2+4)-3x\left(2x\right)}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =\frac{-3x^2+12}{(x^2+4{)}^2}\\ 0& =-3x^2+12\\ 3x^2& =12\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x=2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $2\text{meter}$
(Jawaban C) 

 

$\mathrm{Sekian\; Blog\; untuk\; materi\; hari\; ini\; kurang\; lebihnya\; mohon\; maaf}$

Jangan lupa tersenyum :) dan selalu semangat

Wassalamualaikum wr.wb  

Daftar Pustaka:

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/

https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan

https://www.mathtrick1994.com/2019/11/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan.html